Question

Является ли 2020! суммой двух степеней двойки?

Answer 1

Факториал числа, большего 7, не является суммой двух степеней двойки. Докажем это.

Пусть факториал вдруг разложился в сумму двух степеней двойки. Поделим всё на меньшее из чисел в разложении. Получим разложение факториала без двоек (у которого нет делителя 2) (если двойки остались или число стало нецелым, то исходное разложение было неверным по чётности и нечётности) на 1 и какую-то степень двойки. Оставшееся от факториала число всё ещё делится на 7. Значит, степень двойки в разложении полученного числа на сумму будет давать остаток 6 от деления на 7. Но степень двойки может давать только остатки 1, 2 и 4 от деления на 7. Противоречие.

2020 больше 7, потому оно не представимо в виде суммы двух степеней двойки.

Ответ: нет.