Question

Найти структуру частного и общего решения неоднородного дифференциального уравнения:
y'' - 5y' + 6y = (x + 4)*e^(2x)

Answer 1

$y''-5y'+6y=(x+4)\cdot e^{2x}\\\\a)\; \; k^2-5k+6=0\; \; \to \; \; \; k_1=2\; ,\; k_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\y_{obshee\; odnorodnogo}=C_1\cdot e^{2x}+C_2\cdot e^{3x}\\\\b)\; \; y_{chastn.\; neodnor.}=(Ax+B)\cdot x\cdot e^{2x}=(Ax^2+Bx)\cdot e^{2x}\\\\y'=(2Ax+B)\, e^{2x}+2\, (Ax^2+Bx)\, e^{2x}\\\\y''=2A\, e^{2x}+2e^{2x}(2Ax+B)+4e^{2x}(Ax^2+Bx)+2e^{2x}\cdot (2Ax+B)\\\\y''-5y'+6y=-e^{2x}\cdot (2Ax+B)+2A\, e^{2x}=(x+4)\cdot e^{2x}\\\\x\, |\; -2A=1\; \; \to \; \; A=-\frac{1}{2}\\\\x^0\, |\; 2A-B=4\; ,\; \; B=2A-4=-1-4=-5$

.$y_{chastn.neodnor.}=(-\frac{x}{2}-5)\cdot e^{2x}\\\\c)\; \; y_{obshee\; neodnor.}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-(\frac{x}{2}+5)\, e^{2x}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}\, (x+10)e^{2x}$