Question

Докажите, что уравнение x^2+x*2^2018+2^2019=0
не имеет целых
корней.

Answer 1

$D=(2^{2018})^2-4*2^{2019}=2^{4036}-2^{2021}\\\sqrt{D}=\sqrt{2^{4036}-2^{2021}}=\sqrt{2^{2020}*(2^{2016}-2)}=2^{1010}\sqrt{2^{2016}-2}$

Если корень из $2^{2016}-2$ не извлекается, то уравнение не имеет целых корней. Предположим обратное: пусть

$2^{2016}-2=x^2, x\in\mathbb{N}\\x^2+2=2^{2016}$

Если x — число чётное, то

$4k^2+2=2^{2016}\\2k^2+1=2^{2015}$

Левая часть нечётна, а правая чётна. Противоречие.

Если x — число нечётное, то левая часть нечётна (Н + 2 = Н), а правая чётна. Противоречие.

Таким образом, квадратный корень из числа $2^{2016}-2$ не извлекается, а значит, уравнение имеет только иррациональные корни.