Question

Решить неравенство
cos9x+4cos3x>0

Answer 1

Ответ:

$-\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} <x<\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3}$

Объяснение:

Используем  формулу косинуса тройного угла и выносим затем общий множитель за скобки:

$cos9x=4cos^{3} 3x-3cos3x\\ 4cos^{3} 3x-3cos3x+4cos3x>0\\ 4cos^{3} 3x+cos3x>0\\ cos3x(4cos^{2} 3x+1)>0$

Замечаем, что второй множитель всегда положителен, поскольку имеет вид суммы квадрата, который всегда неотрицателен, и единицы, прибавление которой делает все выражение только положительным. Первый же множитель уже может быть как положительным, так и отрицательным. Стало быть, для положительности всего произведения он должен быть только положительным. Значит, неравенство равносильно следующему:

$cos3x>0$

Это неравенство уже вполне известно, как решать. Сначала ради удобства сделаем замену $t=3x$.

$cost>0$

Ну и дальше это простейшее неравенство решаем с помощью окружности.

Относительно t решение:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n<t<\frac{\pi }{2} +2\pi n$

Относительно x:

$-\frac{\pi }{2} +2\pi n<3x<\frac{\pi }{2} +2\pi n\\ -\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} <x<\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3}$