Question

помогите проверить на сходимость числовой ряд
фото в приложении​

Answer 1

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине меньше предыдущего, т.е.

1/9 > 1/45 > 1/189 >...

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3^n(2n+1)}=0$

Второе условие признака Лейбница тоже выполняется.

Значит ряд сходится. Теперь проверим на абсолютность или условной сходимости. Возьмём ряд по модулю, имеем

$\bigg|\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}\bigg|=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{3^n(2n+1)}$

По признаку Даламбера

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{3^n(2n+1)}{3^{n+1}(2(n+1)+1)}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty}\frac{2n+1}{2n+3}=\frac{1}{3}<1$

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.