Question

помогите с логарифмами пожалуйста, как решать их? в инете непонятно, сложно​

Answer 1

$1)\; \; log_3(x^2-10x+40)=log_3(4x-8)\; \; ,\\\\ODZ:\; \left \{ {{x^2-10x+40>0} \atop {4x-8>0}} \right. \; \left \{ {{x\in R} \atop {x>2}} \right.\; \; \Rightarrow \; \; x>2\\\\x^2-10x+40=4x-8\\\\x^2-14x+48=0\; ,\; \; D/4=7^2-48=1\; ,\; \; x_{1,2}=7\pm 1\; ,\\\\x_1=6>2\; \; ,\; \; x_2=8>2\\\\Otvet:\; \; x_1=6\; ,\; x_2=8\; .$

$2)\; \; 2^{log_8x-log_8x^2+2,5}=(2\sqrt2+1)^2-9\; \; ,\; \; \; ODZ:\; x>0\; ,\\\\log_8x-log_8x^2+2,5=log_8x-2log_8x+2,5=-log_8x+2,5=\\\\=log_8{x^{-1}}+2,5\; ;$

$(2\sqrt2+1)^2-9=8+4\sqrt2+1-9=4\sqrt2=2^2\cdot 2^{0,5}=2^{2,5}\\\\\\2^{log_8{x^{-1}}+2,5}=2^{2,5}\; \; \; \to \; \; \; \; 2^{log_8{x^{-1}}}\cdot 2^{2,5}=2^{2,5}\; ,\\\\2^{log_8{x^{-1}}}=1\; \; \; ,\; \; \; 2^{\frac{1}{3}\, log_2x^{-1}}=1\; \; \; ,\; \; \; 2^{log_2x^{-\frac{1}{3}}}=2^0\; \; ,\; \; \; log_2x^{-\frac{1}{3}}=0\; ,\\\\x^{-\frac{1}{3}}=1\; \; ,\; \; \frac{1}{\sqrt[3]{x}} =1\; \; ,\; \; \; \sqrt[3]{x}=1\; \; ,\; \; x=1\\\\Otvet:\; \; x=1\; .$

$3)\; \; log_{2/3}(7x+9)-log_{2/3}(8-x)=1\; \; ,\\\\ODZ:\; \left \{ {{7x+9>0} \atop {8-x>0}} \right.\; \left \{ {{x>-9/7} \atop {x<8}} \right. \; \; \to \; \; \; -1\frac{2}{7}<x<8\\\\log_{\frac{2}{3}}\frac{7x+9}{8-x}=log_{\frac{2}{3}}\frac{2}{3}\\\\\frac{7x+9}{8-x}=\frac{2}{3}\; \; ,\; \; \; \frac{7x+9}{8-x}-\frac{2}{3}=0\; \; ,\; \; \frac{23x+11}{3(8-x)}=0\; \; \to \; \; \left \{ {{23x+11=0} \atop {8-x\ne 0}} \right. \\\\x=-\frac{11}{23}\; ,\; \; x\ne 8\\\\Otvet:\; \; x=-\frac{11}{23}\; .$