Question

докажите, что если a+b≥6 то a²+b²≥18

Answer 1

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат XOY. Прямая x+y=6 пересекается с осями в точках A(6,0) и B(0,6). Полуплоскость, задаваемая неравенством $x+y\ge 6,$ ограничена этой прямой и не содержит начало координат. Точка этой полуплоскости, находящаяся на минимальном расстоянии от начала координат, является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на AB. Этот перпендикуляр является высотой треугольника ABO, а раз треугольник равнобедренный, является также медианой. Иными словами, основание перпендикуляра - середина отрезка AB, поэтому его координаты x=3, y=3, а тогда сумма квадратов координат равна 18. Для остальных точек полуплоскости сумма квадратов координат, то есть квадрат расстояния до начала координат, будет больше 18.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

a+b≥6 ⇒  (a+b)² ≥ 36  ;  a²+b² = (a+b)² -2ab ;    

a²+b²≥18 ⇔ (a+b)² -2ab ≥ 18

(a+b)² -2ab  ≥ 36 - 2ab ,  достаточно доказать , что 36 - 2ab ≥ 18

, а это равносильно : ab ≤ 9  ( 2 )  , но если ab ≤ 0 , то

неравенство (2)  очевидно ,  а если  a ≥ 0  и b ≥ 0 (  оба

отрицательными по условию они быть не могут) , то имеет

место неравенство Коши : a+b ≥2√ab ⇒ 2√ab ≤ 6 ⇒

√ab ≤ 3 ⇒ ab ≤ 9  ⇒ в любом случае имеет место неравенство

:  a²+b² ≥ 18