Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y'×tgx-y=a

Answer 1

Для простоты умножим обе части уравнения на ctgx

$y'-y\cdot{\rm ctg}\,x=a\cdot{\rm ctg}\, x$

Следующее умножаем теперь левую и правую части уравнения на интегрирующий множитель

$\mu(x)=e^{\int-{\rm ctg}\,xdx}=e^{-\int\frac{\cos x}{\sin x}dx}=e^{-\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}}=e^{-\ln|\sin x|}=\dfrac{1}{\sin x}$

$y'\cdot \dfrac{1}{\sin x}-y\cdot \dfrac{\cos x}{\sin^2x}=a\cdot\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\\ \\ y'\cdot \dfrac{1}{\sin x}+y\cdot \left(\dfrac{1}{\sin x}\right)'=a\cdot \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\\ \\ \left(y\cdot\dfrac{1}{\sin x}\right)'=a\cdot\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}~~~~\Rightarrow~~~~ \dfrac{y}{\sin x}=\displaystyle a\int\frac{\cos x}{\sin^2 x}dx\\ \\ \\ \dfrac{y}{\sin x}=a\int\frac{d(\sin x)}{\sin^2x}~~~\Longrightarrow~~~\dfrac{y}{\sin x}=a\left(-\dfrac{1}{\sin x}\right)+C\\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{y=C\sin x-a}$