Question

Составить квадратное уравнение с корнями (а+в) ² и (а-в)², если а и в- корни уравнения х2+рх+q=0.​

Answer 1

$1)\; \; x^2+px+q=0\; \; ,\; \; x_1=a\; ,\; \; x_2=b\; \; \Rightarrow \; \; \; \left \{ {{x_1x_2=q} \atop {x_1+x_2=-p}} \right.\; \; \left \{ {{ab=q} \atop {a+b=-p}} \right.\\\\(a+b)^2=(-p)^2=p^2\; ,\\\\(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab=p^2-4q\\\\2)\; \; x^2+Px+Q=0\; \; \to \; \; \left \{ {{(a+b)^2\cdot (a-b)^2=Q} \atop {(a+b)^2+(a-b)^2=-P}} \right.\\\\-P=(a+b)^2+(a-b)^2=p^2+(p^2-4q)=2p^2-4q=2(p^2-2q)\\\\Q=(a+b)^2\cdot (a-b)^2=p^2\cdot (p^2-4q)=p^4-4p^2q\\\\x^2+Px+Q=x^2-2\, (p^2-2q)\, x+(p^4-4p^2q)\\\\Otvet:\; x^2-2\, (p^2-2q)\, x+p^4-4p^2q=0\; .$