Question

Найти общее решение уравнения (диффур)

2xe^(x^2+y^2)+2)dx+(2ye^(x^+y^2) +3) dy

Answer 1

$2x\, (e^{x^2+y^2}+2)\, dx+2y\, (e^{x^2+y^2}+3)\, dy=0\\\\\frac{\partial P}{\partial y}=2x\cdot e^{x^2}y^2}\cdot 2y=4xy\cdot e^{x^2+y^2}\\\\\frac{\partial Q}{\partial x}=2y\cdot e^{x^2+y^2}\cdot 2x=4xy\cdot e^{x^2+y^2}\\\\\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\; \; \Rightarrow$

дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

$P(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}=2x(e^{x^2+y^2}+2)\; \; ,\; \; Q(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}=2y(e^{x^2+y^2}+3) \\\\F(x,y)=\int 2x(e^{x^2+y^2}+2)\, dx=\int 2x\cdot e^{x^2+y^2}\, dx+\int 4x\, dx=\\\\=\int e^{x^2+y^2}\cdot d(x^2+y^2)+4\cdot \frac{x^2}{2}=e^{x^2+y^2}+2x^2+\varphi (y)\; ;\\\\F'_{y}=\Big (e^{x^2+y^2}+2x^2+\varphi (y)\Big )'_{y}=\underline {2y\cdot e^{x^2+y^2}+\varphi '(y)=2y\cdot (e^{x^2+y^2}+3)}\; \; \to \\\\\varphi '(y)=2y\cdot (e^{x^2+y^2}+3)-2y\cdot e^{x^2+y^2}=6y$

$\varphi '(y)=\int 6y\, dy=6\cdot \frac{y^2}{2}+C=3\, y^2+C^*\\\\F(x,y)=e^{x^2+y^2}+2x^2+3y^2+C^*$

$Otvet:\; \; e^{x^2+y^2}+2x^2+3y^2+C\;$ - общий интеграл.