Question

82 Б. Здравствуйте, помогите решать уравнение. Не срочно . Найти общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

Answer 1

В уравнении $M(x;y)=2xy^4+3x^2;~~ N(x;y)=4x^3y^3+5y^4$. Действительно, $\dfrac{\partial M}{\partial y}=8xy^3=\dfrac{\partial N}{\partial x}$, т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируя по х

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int(2xy^4+3x^2)dx=x^2y^4+x^3+C(y)$

Теперь эту функцию продифференцируем по у.

$F'_y(x;y)=4x^2y^3+C'(y)$

Видим, что $F'_y(x;y)=N(x;y)=5y^4+4x^3y^3$ отсюда $C'(y)=5y^4$, получим $C(y)=\displaystyle \int 5y^4 dy=y^5$

Общий интеграл:   $y^5+x^2y^4+x^3=C$