Question

70 Б. Здравствуйте. Ищу помощи с решением уравнения! Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого

порядка

Answer 1

Первый способ.

Так как диф. уравнение однородное, то для него осуществляется замена y = ux, тогда y' = u'x + u, имеем:

$u'x+u=3u+4~~~\Rightarrow~~~ u'x=2u+2~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int\dfrac{du}{u+1}=\int \dfrac{2dx}{x}\\ \\ \\ \ln|u+1|=\ln |x^2|+\ln C~~~\Rightarrow~~~ u+1=Cx^2~~~\Rightarrow~~~ u=Cx^2-1$

Выполнив обратную замену u = y/x, имеем:

$\dfrac{y}{x}=Cx^2-1~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{\dfrac{y}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}=C}$

Получили общий интеграл.

Второй способ.

$y'-\dfrac{3y}{x}=4$

Умножим левую и правую части уравнения на $\mu (x)$, которое определяется соотношением:

$\displaystyle \mu (x)=e^{\int-\frac{3}{x}dx}=e^{-3\ln |x|}=\dfrac{1}{x^3}$

$\dfrac{y'}{x^3}-\dfrac{3y}{x^4}=\dfrac{4}{x^3}\\ \\ y'\cdot \dfrac{1}{x^3}+y\cdot \left(\dfrac{1}{x^3}\right)'=\dfrac{4}{x^3}~~~~\Rightarrow~~~ \left(y\cdot\dfrac{1}{x^3}\right)'=\dfrac{4}{x^3}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\dfrac{y}{x^3}=\displaystyle \int\dfrac{4}{x^3}dx~~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{y}{x^3}=-\dfrac{2}{x^2}+C~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=Cx^3-2x}$

Получили общее решение.