Question

Решите данное уравнение: $\sqrt\frac{x}{x+1}+\sqrt\frac{x+1}{x}=\frac{5}{2}$

Answer 1

$\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{5}{2}\; \; ,\; \; \left \{ {{\frac{x}{x+1}\geq 0} \atop {\frac{x+1}{x}\geq 0}} \right. \; \; \to \; \; x\in (-\infty ,-1)\cup (0,+\infty )\\\\t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\; ,\; \; t+\frac{1}{t}-\frac{5}{2}=0\; ,\; \; \frac{2t^2-5t+2}{t}=0\; \; ,\; \; 2t^2-5t+1=0\; ,\\\\t_1=\frac{1}{2}\; ,\; \; t_2=2\\\\a)\; \; \sqrt{\frac{x}{x+1}}=\frac{1}{2}\; ,\; \; \frac{x}{x+1}=\frac{1}{4}\; ,\; \; 4x=x+1\; ,\; \; 3x=1\; ,\; \; x=\frac{1}{3}$

$b)\; \; \sqrt{\frac{x}{x+1}}=2\; ,\; \; \frac{x}{x+1}=4\; ,\; \; x=4(x+1)\; ,\; \; 3x=-4\; ,\; \; x=-\frac{4}{3}\\\\Proverka:\; \; x=\frac{1}{3}\; ,\; \sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt4=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\; ;\\\\x=-\frac{4}{3}\; ,\; \; \sqrt4+\sqrt{\frac{1}{4}}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\; . \\\\Otvet:\; \; x=\frac{1}{3}\; ,\; \; x=-1\frac{1}{3}\; .$