Question

Для функции f(x)=1/x^2-6x+2 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку М(1;0).

Answer 1

$f(x)=\dfrac{1}{x^2-6x+2}=\dfrac{1}{x^2-6x+9-7}=\dfrac{1}{(x-3)^2-(\sqrt{7})^2}$

Найдем общий вид первообразной:

$F(x)=\displaystyle \int\dfrac{dx}{(x-3)^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{7}}\ln\bigg|\dfrac{x-3-\sqrt{7}}{x-3+\sqrt{7}}\bigg|+C$

Подставим координаты точки М и найдем константу С

$0=\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\ln\bigg|\dfrac{1-3-\sqrt{7}}{1-3+\sqrt{7}}\bigg|+C~~~\Rightarrow~~~ C=-\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\ln\bigg(\dfrac{2+\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}\bigg)$

Искомая первообразная:

$F(x)=\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{7}}\ln\bigg|\dfrac{x-3-\sqrt{7}}{x-3+\sqrt{7}}\bigg|-\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\ln\bigg(\dfrac{2+\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}\bigg)$