Question

Докажите тождество:
$\frac{cos3\alpha+cos\alpha }{sin3\alpha+sin\alpha } =ctg2\alpha$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

По формуле

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

преобразуем числитель

$\cos3\alpha+\cos\alpha=2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}=2\cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2}=2\cos2\alpha\cos\alpha$

По формуле

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

преобразуем знаменатель

$\sin3\alpha+\sin\alpha=2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}=2\sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2}=2\sin2\alpha\cos\alpha$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель

$\frac{2\cos2\alpha\cos\alpha}{2\sin2\alpha\cos\alpha} =\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\cot2\alpha$

Что и требовалось доказать