Question

Помогите пожалуйста решить

Answer 1

Поскольку, если $\cos x=0$, то подставляя в уравнение, получим $1=0$ — неверно, значит имеем право разделить обе части уравнения на $\cos^2x\ne0$, получим:

$\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}-\dfrac{4\cos x\sin x}{\cos^2x}+\dfrac{3\sin^2x}{\cos^2x}=0\\ \\ 1-4{\rm tg}\, x+3{\rm tg}^2\, x=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно tgx, имеем

$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\\ \\ {\rm tg}\, x=\dfrac{4+2}{2\cdot3}=1~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}\\ \\ {\rm tg}\, x=\dfrac{4-2}{2\cdot3}=\dfrac{1}{3}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_2={\rm arctg}\,\dfrac{1}{3}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Задание 5.

Вычислим производную функции первого порядка и приравняем ее к нулю

$f'(x)=\left(\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1\right)'=x^2-4x+3=0$

По теореме Виета

$x_1=1\\ x_2=3$

____+___(1)__-_____(3)__+____

Функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1) и x ∈ (3;+∞), а убывает на промежутке x ∈ (1;3). В точке х = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-), значит x = 1 - относительный максимум, а в точке х = 3 производная функции меняет с (-) на (+), следовательно, точка х = 3 - относительный минимум.

В точке х = 3 имеется минимум $y=\frac{1}{3}\cdot3^3-2\cdot3^2+3\cdot3+1=1$, а в точке x = 1 имеется максимум

$y=\frac{1}{3}\cdot1^3-2\cdot1^2+3\cdot1+1=\frac{7}{3}$

6. Воспользуемся формулой производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\left(\dfrac{6x^2-4}{5x+7}\right)'=\dfrac{(6x^2-4)'(5x+7)-(6x^2-4)(5x+7)'}{(5x+7)^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{12x(5x+7)-5(6x^2-4)}{(5x+7)^2}=\dfrac{60x^2+84x-30x^2+20}{(5x+7)^2}=\dfrac{30x^2+84x+20}{(5x+7)^2}$

Answer 2

4. cos²x-4sinx*cosx+3sin²x=0. Разделим обе части неравенства на cos²x≠0, это сделать можно, поскольку sinx и cosx одновременно не нули вследствие основного тригонометрического тождества. Получим 3tg²x-4tgx+1=0; Пусть tgx=y, тогда 3у²-4у+1=0, у₁,₂=(2±√(4-3))/3=(2±1)/3; у₁=1; у₂=1/3, tgx=y, поэтому, если

tgx=1, то х=π/4+пn; n∈Z; если tgx=1/3, то х=arctg(1/3)+пm; m∈Z.

5.Найдем критические точки, для чего найдем производную и приравняем ее к нулю. х²-4х+3=0. По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения х₁=1, х₂=3, разобьем ими числовую ось на интервалы и с помощью метода интервалов найдем промежутки монотонности и экстремумы.

___1____3_____

+         -         +

Функция возрастает при х ∈ (-∞;1]  и х∈ [3+∞)  и убывает при х∈[1;3],

точка х=1- точка максимума. значение функции в точке х=1 равно максимуму (1/3)*1³-2*1²+3*1+1=2 целых 1/3, минимум в точке минимума х=3, минимум равен  (1/3)*3³-2*3²+3*3+1=1

6. Производная частного равна

(u/v)'=(u'v-uv')/v²⇒((6x²-4)/(5x+7))'=

((12х*(5х+7)-5*(6х²-4))/(5х+7)²=(60х²+84х-30х²+20)/(5х+7)²=

(30х²+84х+20)/(5х+7)²