Question

xy^2y'=x^2+y^3
Дифферинциальное уравнение.

Answer 1

Умножим дифференциальное уравнение на интегрирующий множитель $\dfrac{1}{x^4}$. Тогда уравнение примет вид

$\underbrace{\dfrac{-y^3-x^2}{x^4}}_{M(x;y)}dy+\underbrace{\dfrac{y^2}{x^3}}_{N(x;y)}dy=0$

Заметим, что $M'_y(x;y)=-\dfrac{3y^2}{x^4}=N'_x(x;y)$, т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируем функцию F сначала по х: $F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int\dfrac{-y^3-x^2}{x^4}dx=\dfrac{y^3+3x^2}{3x^3}+C(y)$

Теперь продифференцируем по переменной у:

$F'_y(x;y)=\dfrac{y^2}{x^3}+C'(y)$. Действительно, $F'_y(x;y)=N(x;y)=\dfrac{y^2}{x^3}$.  Отсюда $C'(y)=0~~~\Rightarrow C(y)=0$

Общий интеграл:  $\dfrac{y^2+3x^2}{3x^3}=C$