Question

Решить диффуру
y' = x/y * e^(2x)+y

Answer 1

Умножим левую и правую части уравнения на $e^{-2x}$, получим

$(y^2e^{-2x}-x)dx+e^{-2x}ydy=0$

Дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, действительно $M_y'(x;y)=-2e^{-2x}y=N_x'(x;y)$

Интегрируя по переменной х

$\displaystyle F(x;y)=\int M(x;y)dx=\int\left(e^{-2x}y^2-x\right)dx=\dfrac{e^{-2x}y^2-x^2}{2}+C(y)$

Продифференцируем теперь по у

$F'_y(x;y)=ye^{-2x}+C'(y)$

Видим, что $F'_y(x;y)=N(x;y)=e^{-2x}y$. Отсюда $C'(y)=0~~\Rightarrow~~ C(y)=0$

Общий интеграл: $\dfrac{e^{-2x}y^2-x^2}{2}=C$