Question

помогите пожалуйста срочно нужно!! ребята помогите

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^{\pi /2}_{\pi /6}\, \frac{cosx\, dx}{1+sinx}=\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6}\, \frac{d(1+sinx)}{1+sinx}=ln|1+sinx|\Big |_{\pi /6}^{\pi /2}=ln|1+1|-ln|1+\frac{1}{2}|=\\\\=ln2-ln\frac{3}{2}=ln\frac{4}{3}$

$2)\; \; \int\limits^1_0\, \frac{x\, dx}{(4+x^2)^2} =[\; u=4+x^2\; ,\; du=2x\, dx\; ,\; u_1=4\; ,\; u_2=5\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^5_4\, \frac{du}{u^2}=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{u})\Big |_4^5=-\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{5}-\frac{1}{4})=\frac{1}{40}$

$3)\; \; \int\limits^{\pi /4}_{\pi /6}\, sin2x\, dx=\int\limits^{\pi /4}_{\pi /6}\, 2\cdot sinx\cdot cosx\, dx=2\int\limits^{\pi /4}_{\pi /6}\, sinx\cdot d(sinx)=\\\\=\frac{sin^2x}{2}\Big |_{\pi /6}^{\pi /4}=\frac{1}{2}\cdot \Big ((\frac{\sqrt2}{2})^2-(\frac{1}{2})^2\Big )=\frac{1}{2}\cdot\Big (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big )=\frac{1}{8}$