Question

Найти интеграл
$\int\limits{\frac{1}{x^{2}-\frac{1}{2} } } \, dx$
С подробным решением

Answer 1

Из таблицы интегралов: $\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2-a^2}=\dfrac{1}{2a}\ln\bigg|\dfrac{x-a}{x+a}\bigg|+C$

Применим эту формулу

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{x^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\dfrac{1}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}\ln\bigg|\dfrac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{x+\frac{1}{\sqrt{2}}}\bigg|+C=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln \bigg|\dfrac{x\sqrt{2}-1}{x\sqrt{2}+1}\bigg|+C$

Answer 2

Это табличный интеграл ∫dx/(x²-a²)=(1/(2a))*㏑I(x-a)/(x+a)I+c

∫dx/(x²-(1/2))=∫dx/(x²-(√2/2)²)=(1/(2*(√2/2)))*㏑I(xx-√2)/(x+√2)I+c=

(√2/2)*㏑I(2x-√2)/(2x+√2)I+c=(√2/2)*㏑I(√2(x√2-1))/(√2(x√2+1)I+c=

(√2/2)*㏑I((x√2-1))/((x√2+1)I+c