Question

Дано равнобедренный треугольник основа которого в 2 раза меньше стороны и, радиус описанной окружности = 8 см, найти радиус вписанной окружности (если не ошибаюсь там надо было приравнять какую формулу к ф. Герона чтобы найти стороны треугольника)

Answer 1

Обозначим основание за {a}:

из теоремы косинусов:

$a^2=4a^2+4a^2-8a^2cos(\alpha)\\cos(\alpha)=\frac{8a^2-a^2}{8a^2}=\frac{8-1}{8}=\frac{7}{8}$

отсюда синус этого угла:

$sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha)=\frac{64-49}{64}=\frac{15}{64}\\ sin(\alpha)=\frac{\sqrt{15}}{8}$

из теоремы синусов:

$a=2R*sin(\alpha)=2\sqrt{15}$

найдем площадь треугольника:

$S=\frac{1}{2}2a*2a*sin(\alpha)=8*15*\frac{\sqrt{15}}{8} =15\sqrt{15}$

найдем радиус вписанной окружности:

$S=pr\\r=\frac{S}{p} \\p=\frac{2\sqrt{15}+4\sqrt{15}+4\sqrt{15}}{2}=5\sqrt{15} \\r=\frac{S}{p}=\frac{15\sqrt{15} }{5\sqrt{15} }=3$

Ответ 3