Question

Объясните, как решается, пожалуйста:


$tgx=\sqrt{\frac{3-3cosx}{3cosx-1} }$

Answer 1

Ответ:

$x =\dfrac\pi2+2\pi n, n\in\mathbb Z\\x=\dfrac\pi3+2\pi m,m\in\mathbb Z$

Объяснение:

Запоминаем, что tg x > 0, и возводим в квадрат:

$\mathop{\mathrm{tg}}^2 x=\dfrac{3-3\cos x}{3\cos x-1}$

По известной формуле тангенс в квадрате выражается через косинус:

$\dfrac1{\cos^2x}-1=\dfrac{3-3\cos x}{3\cos x-1}\\\dfrac1{\cos^2x}=\dfrac2{3\cos x-1}$

При следующем переходе возникают ограничения $\cos x\ne0$, $\cos x\ne1/3$. Если они выполнены, то можно всё домножить на знаменатели "крест накрест":

$2\cos^2x=3\cos x-1\\2\cos^2x-3\cos x+1=0$

Получилось уравнение, сводящееся к квадратному относительно косинуса. Один корень угадывается - это cos x = 1, второй по теореме Виета cos x = 1/2. Дальше остаётся решить эти уравнения и учесть ограничения (фактически остается отобрать решения, удовлетворяющие неравенству tg x > 0).

$\cos x=0 \Leftrightarrow x =\pm \dfrac\pi2+2\pi n, n\in\mathbb Z\\\cos x=\dfrac12 \Leftrightarrow x=\pm\dfrac\pi3+2\pi m,m\in\mathbb Z$

Не удовлетворяют условию tg x > 0 серии решений, которые соответствуют выбору "-".