Question

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
9^x-2(a-3)*3^x+a^2-8a+7=0
имеет единственный корень
$9^x-2(a-3)*3^x+a^2-8a+7=0$

Answer 1

Решаем данное уравнение как квадратное уравнение относительно $3^x$

$D=4(a-3)^2-4(a^2-8a+7)=4(a^2-6a+9-a^2+8a-7)=8(a+1)$

Если D = 0, т.е. a+1 = 0 откуда  a = -1, то подставляя этот параметр в исходное уравнение, мы получим

$9^x+8\cdot 3^x+16=0\\ \\ (3^x+4)^2=0\\ \\ 3^x+4=0$

Это уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Если $D>0$, т.е. a + 1 > 0   откуда   a>-1, то нам нужны лишь те корни, которые приобретают разные знаки, т.е. по теореме Виета:

$a^2-8a+7<0$

$(a-1)(a-7)<0\\ \\ a\in (1;7)$

Подставим параметры a = 1 и a = 7 в исходное уравнение, получим

a=1 : $9^x+4\cdot 3^x=0$

Это уравнение корней не имеет, т.к. левая часть уравнения всегда положительно.

a = 7: $9^x-8\cdot 3^x=0\\ \\ 3^x(3^x-8)=0~~~\Rightarrow~~~ 3^x-8=0~~~~\Rightarrow~~~ x=\log_38\\ \\ 3^x=0~~~\Rightarrow~~~ \O$

Т.е. исходное уравнение имеет единственный корень только при $a \in (1;7].$