Question

Точка движется по окружности радиусом 150 см с тангенциальным ускорением 0.8 м/с2. Чему равны нормальное и полное ускорение точки в конце третьей секунды после начала движения? Чему равен угол между векторами полного и нормального ускорений в этот момент? (3.84 м/c2, 3.92м/c2, 11.6)

Answer 1

Дано:

$R=1.5~\mathrm{m}\smallskip\\a_{\tau}=0.8~\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\smallskip\\t=3~\mathrm{s}$

Найти:

$a_{n}\,-\,?\smallskip\\a\,-\,?\smallskip\\\angle\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{a_{n}}\right)\,-\,?$

Решение:

1) Через три секунды скорости точки будет равна $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a_{\tau}}t$. Спроецировав на ось, проходящую по вектору скорости и, соответственно, тангенциального ускорения, получим $v=a_{\tau}t$

2) $a_{n}=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{a^2_{\tau}t^2}{R}$

3) Т.к. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_{n}}+\overrightarrow{a_{\tau}}$ и $\overrightarrow{a_{n}}\perp\overrightarrow{a_{\tau}}$, то $a=\sqrt{a^2_{n}+a^2_{\tau}}$

4) Пусть $\theta=\angle\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{a_{n}}\right)$. Из наблюдений в пункте (3) имеем $\mathrm{tg}\,\theta=\dfrac{a_{\tau}}{a_{n}}\Rightarrow\theta=\mathrm{arctg}\,\dfrac{a_{\tau}}{a_{n}}$

5) Произведем численный расчет

$a_{n}=\dfrac{0{,}64\cdot 9}{1{,}5}=3{,}84~\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}$

$a=\sqrt{14{,}7456+0{,}64}\approx 3{,}92~\mathrm{\frac{m}{s^2}}$

$\theta=\mathrm{arctg}\,\dfrac{0{,}8}{3{,}84}\approx 11,8^{\circ}$

Ответ.  $a_n=3{,}84~\mathrm{\tfrac{m}{s^2}};~a\approx 3{,}92~\mathrm{\frac{m}{s^2}};~\angle\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{a_{n}}\right)\approx 11,8^{\circ}$