Question

треугольник со сторонами 3см, 4см, 5 см согнули по его средним линиям и получили модель  тетраэдра.Найдите площади граней полученной модели? 

Answer 1

Допустим, что дан треугольник АВС -
 СВ = 3 см - XZ-средняя линия
АВ = 4 см - УZ-средняя линия 
 СА = 5 см- XУ-средняя линия
Cредняя линия равна половине основания
XZ=СВ/2=3/2=1.5см
УZ= АВ/2=4/2=2см
XУ=СА/2= 5/2=2.5см
Средняя линия в точках пересечения со сторонам делит их пополам т.е:
СУ=УВ=СВ/2=1.5см
АХ=ХВ=АВ/2=2см
СZ=ZA=СА/2=2.5см
Как мы видим из вычислений и рисунка все 4 маленьких треугольника равны по трем сторонам (это третий признак равенства) 
Мы знаем  все стороны маленьких треугольников, значит, по формуле Герона мы можем найти площадь:
$S= sqrt{p(p-a)*(p-b)*(p-c)}$
p- полупериметр, a,b,c- стороны
$p= frac{2+2.5+1.5}{2}$
$p= frac{6}{2}$
$p=3$
$S= sqrt{3(3-1.5)*(3-2)*(3-2.5)}$
$S= sqrt{3*1.5*1*0.5}$
$S= sqrt{2.25}$
$S= 1.5 cm^{2}$
Мы нашли площадь одного маленького треугольника , а он в тетраэдре  является гранью. Т.к мы доказали, что маленькие треугольники равны, то площади граней тоже равны