Question

Найти сумму первых пяти членов числовой последовательности

Answer 1

0,5+1+3+11+43=58,5

........

Answer 2

Ответ:  S(n)= ((3a-1)*(4^n-1) +3n)/9

             S(5)= 58.5  (при  a=0.5)

Объяснение:

Можно решать в лоб и просто найти и сложить все 5 членов.

Используя рекуррентное соотношение: a(n+1)=4*a(n)-1, найдем все  все 5 членов:

a(1)=0.5

a(2)=4*0.5-1=1

a(3)=4*1-1=3

a(4)=4*3-1=11

a(5)=4*11-1=43

S(5)=0.5+1+3+11+43=58.5

Но  мы решим эту задачу в общем виде.

Cначало попробуем найти формулу n-го  члена этой последовательности.  

Используем рекуррентное соотношение :

a(n+1)=4*a(n)-1

Запишем первые 3 члена:

a(1)=a1

a(2)=4a1-1

a(3)=4*(4a1-1)-1=16*a1-4a-1=4^2*a1-4a1-1

Можно уже догадаться что формула n  члена имеет вид:

a(n)=a1*4^(n-1)-4^(n-2)-4^(n-3)....-4^4 - 4^3 - 4^2- 4- 1

Докажем наше предположение методом математической индукции:

Вычислим значение для n=1 :

a(1)=a1*4^(1-1)=a1*4^0=a1 ( верно)

Предположим, что формула верна для n=k :

a(k)=a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3).... - 4^2 - 4 - 1

Тогда покажем ее верность для n=k+1

То  есть необходимо доказать что:

a(k+1)=a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)....-4^2-4-1

Поскольку : a(k+1)=4*a(k)-1

a(k+1)=4*(a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3)....-4^2- 4- 1 )-1=                                              =a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)....-4^3-4^2-4-1 - (верно)

Таким образом наше предположение доказано.

Заметим, что нашу формулу можно записать так:

a(n)=a1*4^(n-1) + (1+4+4^2+4^3....+ 4^(n-1)+4^(n-2) )

В скобках видим сумму геометрической прогрессии в которой:

b1=1

q=4

Тогда выражение в скобках равно:

S'=(q^(n-1)-1)/(q-1) =(4^(n-1) -1)/(4-1)= (4^(n-1)-1)/3

a(n)= a1*4^(n-1)  - (4^(n-1)-1)/3= (3*a1*4^(n-1) -4^(n-1)+1)/3=

= (4^(n-1) *(3a1-1) +1)/3 = 4^(n-1)*(3a1-1)  +1/3

Теперь можно найти сумму n   членов:

S(n)= 1/3  * (3a1-1)*(1+4+4^2...+4^(n-1) ) +n*(1/3)

Cумма в скобках вновь геометрическая прогрессия:

S''= (4^n -1)/3

S(n)= (3a-1)*(4^n -1)/9  +n/3=  ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9

Таким образом формула сумму n-членов ряда заданного рекуррентным  соотношением:

a(n+1)=4*a(n)-1

Вычисляется по формуле:

S(n)= ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9

Осталось подставить в формулу начальные данные:

a1=0.5

n=5

3a-1=3*0.5-1=0.5

4^n-1=4^5 -1= 1024-1=1023

S(5)= (0.5 *1023 +15)/9= 58.5

Ответ: S(5)= 58.5

P.S  как  видим ответ совпал .