Question

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функций
y=sinx, и отрезком [п;2п] Оси Оx
Решите пожалуйста подробно, чтоб всё было понятно. Заранее спасибо!​

Answer 1

Так как график функции y=sinx на промежутке [ П;2П ] лежит ниже оси ОХ, то есть на этом промежутке sinx≤0 , то определённый интеграл будет отрицательным числом по свойству определённого интеграла:

$x\in [\, a,b\, ]\; \; i\; \; f(x)\leq 0\; \; \Rightarrow \; \; \int\limits^a_b\, f(x)\, dx\leq 0$

Значит для вычисления площади области перед определённым интегралом надо поставить знак минус. (Площадь области не может принимать отрицательные значения из геометрических соображений.)

$S=\int\limits^a_b {f(x)} \, dx \; \; ,\; \; esli\; \; f(x)\geq 0\; \; pri\; \; x\in [\, a,b\, ]\\\\S=-\int\limits^a_b {f(x)} \, dx\; \; ,\; \; esli\; \; f(x)\leq 0\; \; pri\; \; x\in [\, a,b\, ]$

$y=sinx\; ,\; \; y=0\; ,\; \; x\in [\, \pi ;2\pi \; ]\\\\S=-\int \limits _{\pi }^{2\pi }\, sinx\, dx=-(-cosx)\Big |_{\pi }^{2\pi }=cos2\pi -cos\pi =1-(-1)=2$

Либо из соображений симметрии подсчитать площадь равновеликой площади для промежутка [ 0,П ]:

$S=\int\limits^{\pi }_0\, sinx\, dx=-cosx\Big |_0^{\pi }=-(cos\pi -cos0)=-(-1-1)=2$