Question

как делать такое? подробно

Answer 1

$\displaystyle \int\frac{dx}{4x^2-16x-9}=\int\frac{dx}{4(x^2-4x)-9}=\int\frac{dx}{4(x^2-4x+4-4)-9}=\\ \\ =\int\frac{d(x-2)}{4(x-2)^2-25}=\frac{1}{4\cdot5}\ln\bigg|\frac{5-2(x-2)}{5+2(x-2)}\bigg|+C=\frac{1}{20}\ln\bigg|\frac{9-2x}{1+2x}\bigg|+C$

Answer 2

Этот интеграл надо подогнать под табличный, а именно

∫du/(u²- a²)=(1/(2a))*㏑I(u-a)/(u+a)I+c

Вынесем за знак интеграла 1/4 и выделим в знаменателе квадрат разности по формуле а²-2ав+в²=(а-в)², затем введем замену у=(х-2), и воспользуемся тем, что d(x-2)=dx.

∫dx/(4x²-16x-9)=(1/4)∫dx/((x²-4x+4)-4-9/4)=(1/4)∫dx/((x-2)²-25/4)=

(1/4)∫d(x-2)/((x-2)²-25/4)={ введем замену u=x-2}=(1/4)∫du/(u²-(5/2)²)=

{применяем формулу ∫du/(u²-a²)=(1/(2a))*㏑I(u-a)/(u+a)I+c, в качестве а=5/2}=(1/4)*(1/(2*(5/2))*㏑I(u-a)/(u+a)I+c={подставляем вместо u (х-2)}=

(1/20)*㏑I(x-2-5/2)/(x-2+5/2)I+c=(1/20)*㏑I(2x-4-5)/(2x-4+5)I

+c=(1/20)*㏑I(2x-9)/(2x+1)I+c

Проверка.

((1/20)*㏑I(2x-9)/(2x+1)I+c)'=(1/20)*((2х+1)/(2х-9))*((2*(2х+1)-2*(2х-9))/(2х+1)²=

(1/10)*((2х+1)/(2х-9))*(((2х+1)-(2х-9))/(2х+1)²=

(1/10)*((2х+1)/(2х-9))*(((2х+1-2х+9))/(2х+1)²=(1/10)/(2х-9))*(10))/(2х+1)=

1/(4х²+2х-18х-9)=1/(4х²-16х-9) - получили подынтегральную функцию, решение выполнено верно.

Ответ (1/20)*㏑I(2x-9)/(2x+1)I+c