Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

1.

$y=2x^2-3x+1 \\y=0$

2.

$y=\frac{8}{x} \\y=8\\x=4$

3.

$y=x+1\\y=-x^2+1\\y=0$

Answer 1

Графики сами уж нарисуете:

$\displaystyle 2x^2-3x+1=0\\x_{1,2}=\frac{3\pm1}{4}\\x_1=1;x_2=\frac{1}{2}\\\\S_1=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^1(2x^2-3x+1)dx=-(\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+x)|^1_{\frac{1}{2}}=\\=-(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1-\frac{1}{12}+\frac{3}{8}-\frac{1}{2})=\frac{1}{24}$

$\displaystyle S_2=8\int\limits^4_11-\frac{1}{x}=8(x-ln|x|)|_1^4=8(3-ln4)$

В третьем примере для удобства вычисления можно поменять порядок интегрирования, тем самым избавиться от суммы двух интегралов. Но для понимания решения оставлю оба варианта дабы убедиться в мною сказанном:

$\displaystyle S_3=\int\limits^0_{-1}(x+1)dx+\int\limits^{1}_0(1-x^2)dx=\frac{(x+1)^2}{2}|^0_{-1}+(x-\frac{x^3}{3})|^1_0=\\=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}\\\\\\y=x+1\to x=1-y\\\\y=-x^2+1\to x=\sqrt{1-y}\\S_3=\int\limits^1_0(\sqrt{1-y}+(1-y))dy=(-\frac{2\sqrt{(1-y)^3}}{3}-\frac{(1-y)^2}{2})|^1_0=\\=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=1\frac{1}{6}$