Question

Решить задачу Коши:
y''-2y'+5y=10sinx
y(0)=2
y'(0)=1

Answer 1

$y''-2y'+5y=10sinx\\k^2-2k+5=0\\k_{1,2}=1\pm2i\\Y=e^x(C_1cos2x+C_2sin2x)\\\hat{y}=Acosx+Bsinx\\\hat{y}'=-Asinx+Bcosx\\\hat{y}''=-Acosx-Bsinx\\2Asinx-2Bcosx+4Acosx+4Bsinx=10sinx\\sinx|A+2B=5\\cosx|4A-2B=0\\5A=5\to A=1\to B=2\\\hat{y}=cosx+2sinx\\y=Y+\hat{y}=e^x(C_1cos2x+C_2sin2x)+cosx+2sinx\\y(0)=2|C_1+1=2\to C_1=1\\y'=e^x(C_1cos2x+C_2sin2x-2C_1sin2x+2C_2cos2x)-sinx+2cosx\\y'(0)=1|C_1+2C_2+2=1\to C_2=-1\\y=e^x(cos2x-sin2x)+cosx+2sinx$