Question

найдите все значения а, при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнея
$x^{2} - ax + a - 2 = 0$
минимальна​

Answer 1

$D=a^2-4(a-2)a^2-4a+8>0$

По теореме Виета:

$x_1+x_2=a\\ x_1x_2=a-2$

Сумма квадратов корней:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2(a-2)=a^2-2a+4=(a-1)^2+3$

минимальна, когда вершина параболы $f(a)=(a-1)^2+3$ достигает минимума (т.к. ветви направлены вверх). Вершина параболы: (1;3).

При а = 1 сумма квадратов действительных корней уравнения минимальна.