Question

найти общее решение диф. уравнения понизив его порядок:
y"-y'-x=0

Answer 1

Пусть $y'=u;~~ y''=u'$, получим:

$t'-t=x$

Умножим левую и правую части уравнения на множитель $\mu(x)$:

$\mu (x)=e^{-\int dx}=e^{-x}$, получаем

$t'\cdot e^{-x}-te^{-x}=xe^{-x}\\ \\ (t\cdot e^{-x})'=xe^{-x}$

Интегрируя обе части уравнения, получим

$te^{-x}=\displaystyle \int xe^{-x}dx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~ du=dx\\ dv=e^{-x}dx;~~ v=-e^{-x}\end{array}\right\}=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=\\ \\ =-xe^{-x}-e^{-x}+C_1\\ \\ t=(-xe^{-x}-e^{-x}+C_1)\cdot e^x=C_1e^{x}-x-1$

Выполним обратную замену:

$y'=C_1e^x-x-1\\ \\ \displaystyle y=\int (C_1e^x-x-1)dx=C_1e^x-\dfrac{x^2}{2}-x+C_2$

Ответ: $y=C_1e^x-\dfrac{x^2}{2}-x+C_2$