Question

Помогите ,пожалуйста решить ДУ

У'=у/х + 1/у

Answer 1

Умножим левую и правую части уравнения на 1/x³ и перепишем уравнение в следующем виде:

$\dfrac{-y^2-x}{x^3}dx+\dfrac{y}{x^2}dy=0$

$M(x,y)=\dfrac{-y^2-x}{x^3},~~~ N(x;y)=\dfrac{y}{x^2}$

Действительно, $M'_y(x;y)=N'_x(x;y)=-\dfrac{2y}{x^3}$, т.е. дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Интегрируя по переменной х, мы имеем

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int\dfrac{-y^2-x}{x^3}dx=\dfrac{y^2+2x}{2x^2}+C(y)$

Теперь продифференцируем по y

$F'_y(x;y)=\dfrac{y}{x^2}+C'(y)$

Тогда $F'_y(x;y)=N(x;y)=\dfrac{y}{x^2}$ отсюда $C'(y)=0~\Rightarrow~~ C(y)=C$

Общий интеграл: $\dfrac{y^2+2x}{2x^2}=C$