Question

Решите тригонометрические уравнения

1) 2cos^4x-3cos^2x+1=0

2) 4sin^4x-5sin^2x+1=0

3) 4cosx-4+sin^2x=0

4) 5sin^2x+6cosx=6

Answer 1

$1)\;2\cos^4{x}-3\cos^2{x}+1=0;\cos^2{x}=a\Rightarrow a\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\\\begin{Bmatrix}2a^2-3a+1=0\\a\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\quad D=9-8=1\quad \begin{Bmatrix}a=\frac{3\pm 1}{4}\\a\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\\\\\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}a=1\\a=1/2\end{matrix}\\a\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\quad \begin{bmatrix}\cos^2{x}=1\\\cos^2{x}=1/2\end{matrix}\quad \begin{bmatrix}\cos{x}=1\\\cos{x}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}x=2\pi k\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\end{matrix},k\in \mathbb{Z}.\\\\Otvet\!\!:\;x=\{2\pi k;\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\},k\in \mathbb{Z}.$

$2)\;4\sin^4{x}-5\sin^2{x}+1=0;\sin^2{x}=b\Rightarrow b\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\\\begin{Bmatrix}4b^2-5b+1=0\\b\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\quad D=25-16=3^2\quad \begin{Bmatrix}b=\frac{5\pm 3}{8}\\b\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\\\\\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}b=1\\b=1/4\end{matrix}\\b\in \begin{bmatrix}0;1\end{bmatrix}\end{matrix}\quad \begin{bmatrix}\sin^2{x}=1\\\sin^2{x}=1/4\end{matrix}\quad \begin{bmatrix}\sin{x}=1\\\sin{x}=\pm \frac{1}{2}\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\\x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k\end{matrix},k\in \mathbb{Z}.\\\\Otvet\!\!:\;x=\{\frac{\pi}{2}+2\pi k;\pm \frac{\pi}{6}+\pi k\},k\in \mathbb{Z}.$

$3)\;4\cos{x}-4+\sin^2{x}=0\\4\cos{x}-4+1-\cos^2{x}=0|\cdot (-0,5)\\0,5\cos^2{x}-2\cos{x}+1,5=0;D=4-3=1\\\cos{x}=2\pm 1\quad \begin{Bmatrix}\cos{x}=3\;\varnothing \\\cos{x}=1\end{matrix}\quad x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\\\\Otvet\!\!:\;x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

$4)\;5\sin^2{x}+6\cos{x}=6\\5-5\cos^2{x}+6\cos{x}-6=0\;|\cdot -(0,5)\\2,5\cos^2{x}-3\cos{x}+0,5=0;D=9-5=2^2\\\cos{x} =\frac{3\pm 2}{5}\quad \begin{Bmatrix}\cos{x}=1\\\cos{x}=\frac{1}{5}\end{matrix}\quad \begin{Bmatrix}x=2\pi k\\x=\pm \arccos{\frac{1}{5}}+2\pi k\end{matrix},k\in \mathbb{Z}.\\\\Otvet\!\!:\;x=\{2\pi k;\pm \arccos{\frac{1}{5}}+2\pi k\},k\in \mathbb{Z}.$