Question

$x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3 \geq 0$ при x, y ∈ R

Answer 1

x² - 2xy + 2y² - 2x + 3 ≥ 0

Выделим два полных квадрата, умножим сначала на 2 :

2x² - 4xy + 4y² - 4x + 6 ≥ 0

x² - 4xy + 4y² + x² - 4x + 4 + 2 ≥ 0

(x - 2y)² + (x - 2)² + 2 ≥ 0

Выражение слева всегда > 0, т.к. сумма двух квадратов - число неотрицательное, т.е. неравенство верно при x, y ∈ R