Question

Доказать неравенство:
(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 24аb при а,b≥ 0

Answer 1

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 24аb

Поскольку а,b≥ 0, то воспользуемся неравенством Коши:

а + 2 ≥ 2√(2a)

b + 3 ≥ 2√(3b)

аb + 1,5 ≥ 2√(1,5ab)

Запишем произведение неравенств:

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 2√(2a)·2√(3b)·2√(1,5ab);

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 8√(2a·3b·1,5ab);

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 8√(9a²b²);

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 8·3ab;

(а + 2)(b + 3)(аb + 1,5) ≥ 24ab.

Неравенство доказано.