Question

Решите уравнение
$5(x {}^{2} - x + 1) {}^{4} - 5 {x}^{2} ( {x}^{2} - x + 1) {}^{2} + 4 {x}^{4} = 0$
​

Answer 1

(x² - x + 1)⁴ - 5x²(x² - x + 1)² + 4x⁴ = 0

замена

(x² - x + 1)² = t

x² = u

t² - 5ut + 4u² = 0

D= 25u² - 16u² = 9u² = (3u)²

t12 = (5u+-3u)/2 = u    4u

1/ t=u

(x² - x + 1)² = x²

(x² - x + 1)² - x² = 0

(x² - x + 1 - x)(x² - x + 1 + x) = 0

(x² - 2x +1)(x² + 1) = 0

(x - 1)²(x² + 1) = 0

x=1

вторая скобка решений в действительных не имеет (в комплексных два решения +-i    i=√-1 )

2/ t=4u

(x² - x + 1)² = 4x²

(x² - x + 1)² - 4x² = 0

(x² - x + 1 - 2x)(x² - x + 1 + 2x) = 0

(x² - 3x +1)(x² -x + 1) = 0

Dпервой скобки = 9-4 = 5

x23=(3 +- √5)/2

D второй скобки = 1 - 4 = -3 дискриминант меньше 0. Решений в действительной части нет ( в комплексной еще два корня (1 +- i√3)/2)

Ответ в действительной части три корня (3 +√5)/2. (3 - √5)/2. 1

(в комплексной еще +-i    (1 +- i√3)/2)