Question

Доказать, что при всех допустимых значениях a справедливо равенство.

Answer 1

Умножим числитель и знаменатель дроби на cosa + sina, получим:

$\displaystyle \frac{\sin \alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}=\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}={\rm tg}2\alpha+\frac{1}{\cos2\alpha}$

Answer 2

Преобразуем правую часть тождества :

$tg2\alpha+\frac{1}{Cos2\alpha}=\frac{Sin2\alpha}{Cos2\alpha}+\frac{1}{Cos2\alpha}=\frac{Sin2\alpha+1 }{Cos2\alpha}=\frac{Cos^{2}\alpha+2Sin\alpha Cos\alpha+Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha-Sin^{2}\alpha}=\frac{(Cos\alpha+Sin\alpha)^{2}}{(Cos\alpha+Sin\alpha)(Cos\alpha-Sin\alpha)}=\frac{Sin\alpha+Cos\alpha}{Cos\alpha-Sin\alpha}\\\\\frac{Sin\alpha+Cos\alpha}{Cos\alpha-Sin\alpha}=\frac{Sin\alpha+Cos\alpha}{Cos\alpha-Sin\alpha}$

Тождество доказано