Question

(x+1)y"-(x+2)y'+x+2=0 ​

Answer 1

Ответ:(x+1)*y-(x+2)*y'+x+2=0  

Представим в виде:  

y(x+1)-y'(x+2) = -x-2  

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y' = u'v + uv'.  

u*v(x+1)-(x+2)*(u*v'+u'v) = -x-2  

или  

u(v*x+v-v'x-2v') + -u'v*x-2u'v= -x-2  

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:  

1. u(v*x+v-v'x-2v') = 0  

2. -u'v*x-2u'v = -x-2  

1. Приравниваем u=0, находим решение для:  

v*x+v-v'x-2v' = 0  

Представим в виде:  

v' = (v(x+1))/(x+2)  

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:  

Интегрируя, получаем:  

ln(v) = x-ln(x+2)  

v = ex/(x+2)  

2. Зная v, Находим u из условия: -u'*v*x-2*u'*v = -x-2  

-u'x*ex/(x+2)-2u'ex/(x+2) = -x-2  

u' = (x+2)*e-x  

Интегрируя, получаем:  

Из условия y=u*v, получаем:  

y = u*v = ((C+(-x-3)*e-x)*ex)/(x+2)  или  y = Cex/(x+2)-x/(x+2)-3/(x+2)