Question

Найдите различные цифры a и b такие, что 0,aaa…=(0,bbb…)^2

Answer 1

У обеих бесконечных дробей есть период, значит, их можно представить в виде обыкновенных дробей. Решим эту подзадачу в общем виде:

-$10t=x,xxx...\\t=0,xxx...$

$9t=x\Leftrightarrow t=\frac{x}{9}$

Тогда:

$\frac{a}{9}=(\frac{b}{9})^2\Leftrightarrow \frac{a}{9}=\frac{b^2}{81}\Leftrightarrow 9a=b^2$

9a – квадрат натурального числа, 9 – квадрат тройки, значит, a – однозначное число, являющееся также квадратом какого-то числа, то есть либо 1, либо 4, либо 9.

При a = 1: $9*1=b^2 \Rightarrow b = 3$

При a = 4: $9*4=b^2\Rightarrow b = 6$

При a = 9: $9*9=b^2\Rightarrow b=9$, но тогда a = b, что не подходит по условию.

Ответ: (a; b) = (1; 3), (4; 6)