Question

Решите в натуральных числах уравнение xy=x+y+6.

Answer 1

$xy=x+y+6\\xy-y=x+6\\y(x-1)=x+6$

При x = 1 уравнение решений не имеет, значит, можно поделить на (x-1):

$y=\frac{x+6}{x-1}\\y=\frac{x-1+7}{x-1}\\y=1+\frac{7}{x-1}$

Для того чтобы y был натуральным, дробь должна быть не меньше нуля (а в данном случае не меньше единицы) и целым числом. 7 – простое число, значит, x - 1 = 1 ⇔ x = 2 или x - 1 = 7 ⇔ x = 8. Подставим полученные значения:

$y=1+\frac{7}{2-1}=1+7=8\\y=1+\frac{7}{8-1}=1+1=2$

Ответ: (2; 8), (8; 2)