Question

Количество всех реальных решений уравнения 2cos2x=cosx в интервале (0;3/2пи) плавен числу а)1. b)2. c) 3. d)4 ни одному. Cos в квадратe X . Прошу подробное описание решения. Большое спасибо!

Answer 1

$2\cos{2x}=\cos{x};\\4\cos^2{x}-\cos{x}-2=0;D=1+21=33\\\cos{x}=\frac{1\pm \sqrt{33}}{8};\\-1<\frac{1-\sqrt{33}}{8}<\frac{1+\sqrt{33}}{8}<1\Rightarrow \\x=\pm \arccos{\frac{1\pm \sqrt{33}}{8}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.\\x\in (0;\frac{3\pi}{2})\\1)0\le \arccos{x}\le \pi<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow x=\arccos{\frac{1\pm \sqrt{33}}{8}}\\2)0<-\arccos{\frac{1-\sqrt{33}}{8}}+2\pi V\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}<\arccos{\frac{1-\sqrt{33}}{8}};\Rightarrow \\x=-\arccos{\frac{1-\sqrt{33}}{8}}+2\pi$

$3)0<-\arccos{\frac{1+\sqrt{33}}{8}}+2\pi V\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}>\arccos{\frac{1+\sqrt{33}}{8}}\Rightarrow \\x\ne -\arccos{\frac{1+\sqrt{33}}{8}}+2\pi$

Остальные корни точно не будут попадать т.к. будут отличны от этих на 2π, а значит вылятят из этого интервала точно.

Ответ: с) 3.