Question

В выпуклом четырёхугольнике KLMN с диагоналями LN и KM на сто- роны MN и KL опущены соответственно высоты KP и NQ. Известно, что KP ≥LN, NQ≥KM, KL=3, KN =5. Найти KM.

Answer 1

Длина перпендикуляра не превышает длину наклонной. Тогда получаем $KM\geq KP, LN\geq NQ$, но по условию $KP\geq LN, NQ\geq KM$. Из этого следует, что $KM\geq KP\geq LN\geq NQ\geq KM \Rightarrow KM\geq KM$, но $KM=KM \Rightarrow KM=KP=LN=NQ$, то есть точки M и P, L и Q совпадут, а из полученного равенства KM = LN.

В прямоугольном треугольнике KLN по теореме Пифагора $LN=\sqrt{KN^2-KL^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4=KM$

Ответ: 4