Question

Решите уравнение f'(x) =0и неравенства f'(x) <0 и f'(x) >0 для функции а) f(x) =x^3+1,5x^2-1 б) f(x) =6x/x-1

Answer 1

a)

$f(x)=x^3+1.5x^2-1;\\f'(x)=3x^2+3x-0=3x(x+1);\\f'(x)=0\Rightarrow x=\begin{Bmatrix}-1;0\end{Bmatrix};\\f'(x)>0\Rightarrow x\in (-\infty;-1)\cup(0;+\infty);\\f'(x)<0\Rightarrow x\in (-1;0).$

б)

$f(x)=\frac{6x}{x-1};\\f'(x)=\frac{6*(x-1)-6x*1}{(x-1)^2}=\frac{-6}{(x-1)^2};\\f'(x)=0\Rightarrow x\in \varnothing;\\f'(x)>0\Rightarrow x\in \varnothing;\\f'(x)<0\Rightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}.$

Разъяснение пункта б:

$\frac{6x}{x-1}=\frac{6x-6+6}{x-1}=6+\frac{6}{x-1}$

Это гипербола, у асимптоты параллельны осям координат, значит между ними угол 90°, поэтому нету минимумов и максимумов, а так же гипербола лежит в 1 и 3 четверти относительно своих асимптот, поэтому она всегда убывает.