Question

Вычислите площадь области ограниченной кривыми$\left \{ {{y=x} \atop {y=x+sin^{2}x }} \right. \\\\0\leq x\leq \pi$

Answer 1

$\displaystyle\left \{ {{y=x} \atop {y=x+\sin^2x}} \right.~~~\Leftrightarrow~~~\left \{ {{y=x} \atop {y=x+\dfrac{1-\cos(2x)}2}} \right.\\\\\\\left \{ {{y=x} \atop {y=x+\dfrac 12-\dfrac{\cos(2x)}2} \right.$

y = x   - линейная функция, график которой проходит через начало координат.  y(0) = 0;  y(π) = π

у = x + sin²x   -  график функции  - синусоида, которая колеблется над прямой y=x, касаясь прямой.  y(0) = 0;  y(π)=π+sin²π=π

Точки пересечения графиков на заданном интервале  x₁=0;  x₂=π

$\displaystyle\int\limits^{\pi}_0 {\Big(x+\dfrac 12-\dfrac{\cos(2x)}2-x}\Big) \, dx =\int\limits^{\pi}_0 {\Big(\dfrac 12-\dfrac{\cos(2x)}2}\Big) \, dx =\\\\=\dfrac x2-\dfrac{\sin(2x)}4\Big|^{\pi}_0=\dfrac {\pi}2-\dfrac{\sin(2\pi)}4-\Big(\dfrac 02-\dfrac{\sin 0}4\Big)=$

$\boldsymbol{=\dfrac {\pi}2}~~\approx 1,57$