Question

докажите равенство с помощью математической индукции 2^2+6^2+...+(4n-2)^2=4n(2n-1)(2n+1)/3

Answer 1

1. При n = 1:

$(4*1-2)^2=\frac{4*1*(2*1-1)*(2*1+1)}{3}\\2^2=\frac{4*3}{3}\\4=4$

Верно.

2. Пусть при n = k:

$2^2+6^2+...+(4k-2)^2=\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}$

утверждение верно.

3. При n = k + 1:

$2^2+6^2+...+(4k-2)^2+(4k+2)^2=\frac{4(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}\\\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}+(4k+2)^2=\frac{4(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}|*\frac{3}{4}\\k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2=(k+1)(2k+1)(2k+3)\\(2k+1)(k(2k-1)+3(2k+1))=(k+1)(2k+1)(2k+3)|:(2k+1)\\2k^2-k+6k+3=(k+1)(2k+3)\\2k^2+5k+3=2k^2+5k+3\\0=0$

Утверждение верно, значит, исходное тоже верно, что и требовалось доказать.