Question

Помогите решить пожалуйста)))

Answer 1

24)

а) Сделаем несколько равносильных преобразований: $\cos4x-6\cos^{2}x+5=0 \Leftrightarrow \cos4x+6(1-\cos^{2}x)=1 \Leftrightarrow \cos4x+6\sin^{2}x=1$; Теперь поделим обе части уравнения на 3:

$\frac{\cos4x}{3}+2\sin^{2}x=1-\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{\cos4x}{3}-\cos2x+\frac{2}{3}=0 \Leftrightarrow \cos4x-3\cos2x+2=0$; Сделаем замену: t=2x; $\cos2t-3\cos t+2=0 \Leftrightarrow 2\cos^{2}t-3\cos t+1=0$; Делаем замену: m=cos(t); $2m^{2}-3m+1=0 \Leftrightarrow m=1,\; m=0.5$; Возвращаясь к замене и решая простейшее триг. уравнение, получаем: $t=2\pi k,\; t=\frac{\pi}{3}+2\pi l,\; t=\frac{5\pi}{3}+2\pi l,\; k,l \in \mathbb{Z}$; Отсюда $x=\pi k,\; x=\frac{\pi}{6}+\pi l,\; x=\frac{5\pi}{6}+\pi l,\; k,l \in \mathbb{Z}$

б) здесь все то же: $7\cos4x-12\sin^{2}x+6=1 \Leftrightarrow 7\cos4x+6\cos2x-1=0$; После тех же самых бесчисленных замен приходим к ответу: $x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\; x=\pm\frac{1}{2}\arccos(\frac{4}{7})+\pi n,\; k,n\in \mathbb{Z}$

25)

а) $\sin4x=1-2\sin^{2}x\Leftrightarrow \sin4x=\cos2x$

Возможно лишь два случая: $\frac{\pi}{2}+2\pi k-4x=2x \;\; \textbf{or}\;\; 4x=\frac{\pi}{2}+2\pi k+2x \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb{Z}$

б)

$\sin4x=2(1-2\cos^{2}x) \Leftrightarrow \sin4x = -2\cos2x \Leftrightarrow \sin2x\cos2x=-\cos2x$; Вынесем за скобку:

$\cos2x(\sin2x+1)=0$; Простейшие триг. уравнения:

$\cos2x=0,\; \sin2x=-1$

Ответ: $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\; x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$