Question

Помогите найти максимум выражения (ab+bc+cd), если a+b+c+d=44​

Answer 1

Имеет смысл брать только неотрицательные числа, иначе будут получаться отрицательные слагаемые в выражении (если взять все отрицательными, данная сумма не будет равной 44).

$ab+bc+cd=ab+bc+cd+ad-ad=b(a+c)+d(a+c)-ad=\\=(a+c)(b+d)-ad$

Значит, нужно максимизировать произведение и минимизировать вычитаемое.

По неравенству Коши получаем:

$\frac{(a+c)+(b+d)}{2}\geq \sqrt{(a+c)(b+d)}\\22\geq \sqrt{(a+c)(b+d)}\\(a+c)(b+d)\leq 484$

При a ≥ 0, d ≥ 0 min(ad) = 0. Учитывая это:

$\max{(ab+bc+cd)}=\max{((a+c)(b+d)-ad)}=\\=\max{((a+c)(b+d))}-\min{(ad)}=484-0=484$

Это значение достигается, например, при a = 0, b = 1, c = 22, d = 21: 0*1 + 1*22 + 22*21 = 22 + 462 = 484.

Ответ: 484