Question

Вокруг шара описан усеченный конус. Радиусы усеченного конуса относятся как 4:9. Радиус шара равен 6 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Answer 1

Пусть шар с центром в точке $O$ и радиусом $OP = OK = OM = 6$ см вписан в усеченный конус, у которого радиусы оснований относятся как $BK : AM = 4 : 9$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $BK = 4k$, а $AM = 9k$

По свойству касательных: отрезки касательных проведенных из одной точки, равны. Значит, $BK = BP = 4k$ и $AM = AP = 9k$.

Проведем высоту $CN \ (CN \bot AD, \ CN \bot CK, \ CN || KM)$

Тогда четырехугольник $MKCN$ является прямоугольником со сторонами $KM = CN = 2 \cdot 6 = 12$ см и $CK = MN = 4k$

Следовательно, катет прямоугольного треугольника $CND (\angle N = 90^{\circ}) \ ND$ равен $MD - MN = 9k - 4k = 5k$

Если трапеция $ABCD$ равнобокая значит, $AB = CD = AP + BP = 9k + 4k = 13k$

Рассмотрим $\triangle CND (\angle N = 90^{\circ}):$

По теореме Пифагора $CD^{2} = ND^{2} + CN^{2};$

$(13k)^{2} = (5k)^{2} + 12^{2}\\169k^{2} = 25k^{2} + 144\\144k^{2} = 144\\k^{2} = 1$

$k = 1$

$k = -1$ — не удовлетворяет условию задачи

$AD = 2AM = 2 \cdot 9k = 18k = 18 \cdot 1 = 18$ см

$BC = 2BK = 2 \cdot 4k = 8k = 8 \cdot 1 = 8$ см

Площадь осевого сечения конуса — это площадь трапеции $ABCD$

$S = \dfrac{BC + AD}{2} \cdot MK = \dfrac{8 + 18}{2} \cdot 12 = 156$ см²

Ответ: 156 см²