Question

Помогите с дифференциальным уравнением​

Answer 1

Исспользуем подстановку:

$z(y)=y'$

Тогда получим:

$y''=\frac{d}{dx}(z(y))=z'(y)\cdot y'(x)=zz'$

и уравнение запишется в виде:

$zz'=ze^y;\\z'=e^y\Rightarrow z=e^y+C_1;\\y'=e^y+C_1\Rightarrow \int\frac{dy}{e^y+C_1}=\int dx;\\\frac{1}{C_1}\ln\left|\frac{e^y}{e^y+C_1}\right|=x+C\Rightarrow \frac{e^y}{e^y+C_1}=C_2e^{C_1x}\Rightarrow e^y=\frac{C_1C_2e^{C_1x}}{1-C_2e^{C_1x}}\\y=\ln\left(\frac{C_1C_2e^{C_1x}}{1-C_2e^{C_1x}}\right).$

Данное дифференциальное уравнение также будет иметь особое решение:

$y=C=const$

Чтобы найти решение данной задачи Коши, нужно подставить в равенства

$y'=e^y+C_1$

и

$\frac{1}{C_1}\ln\left|\frac{e^y}{e^y+C_1}\right|=x+C$

соответствующие начальные условия.